O paradoxo do barbeiro
O enunciado, simples e plausível em sua aparência, esconde uma proposição indecidível
“Jamais morreria pelas minhas crenças, porque eu poderia estar equivocado." Bertrand Arthur William Russell (1872+98=1970).
Bertrand Russell, matemático, lógico, filósofo, humanista, historiador e escritor britânico, foi um dos mais influentes pensadores dos séculos XX. Nobel de Literatura de 1950, deixou uma magnífica contribuição para a Matemática e a Filosofia, com cerca de 70 livros e alguns milhares de artigos e ensaios. No dia 18 passado, o mundo científico comemorou o sesquicentenário de seu nascimento.
A propósito da data histórica, referimo-nos aqui a uma de suas primeiras contribuições para a Matemática, quando, ao detectar algumas inconsistências nos esforços anteriores para a axiomatização da Teoria dos Conjuntos, formulou a célebre antinomia conhecida como “Paradoxo de Russell”, descrita na sua obra “Princípios matemáticos” (1901). Importante ressaltar que o fato se deu quando a Teoria era alvo de calorosos embates entre matemáticos, por lidar com conceitos revolucionários, como números transfinitos, cardinalidade de um conjunto e a própria existência de uma “infinidade de infinitos”. (Em tempo: “axiomatizar” uma teoria significa mostrar que suas inferências podem ser derivadas a partir de um pequeno e bem definido conjunto de sentenças, chamadas axiomas.)
Antes, não podemos deixar de citar seu audacioso ativismo pacifista, em especial durante as guerras mundiais e a Guerra Fria, crítico social e defensor dos ideais humanitários e da liberdade de pensamento que foi. Daí o cognome “apóstolo da paz e paladino da justiça”, embora as perseguições sofridas, como expulsão de cátedras universitárias, prisões, pagamento de multas e ameaças de morte. No ano de 1963 foi lançada a “Bertrand Russell Peace Foundation”, para dar continuidade ao seu trabalho pelos direitos humanos, pela justiça social e pela paz, com particular interesse nos riscos de uma guerra nuclear.
Impossível não citar, ainda, alguns títulos de seu legado, que se estende da Matemática e Filosofia a temas como física, lógica, política, religião, moral e educação: “Principia Mathematica” (1910-1913), em 3 volumes, uma impressionante contribuição sobre a interdisciplinaridade entre matemática, lógica e filosofia; “An Introduction to Mathematical Philosophy” (1919), obra escrita durante uma de suas prisões; “História da Filosofia Ocidental” (1945), best-seller cujos 3 volumes e mais de mil páginas “desvendam o essencial da obra dos monstros sagrados da filosofia”; e por último seu franco e polêmico escrito a respeito da religião: “Por que não sou cristão”.
Por fim, a tal antinomia (na versão mais popular, conhecida como “Paradoxo do Barbeiro”). “Numa aldeia, todos os dias seu único barbeiro faz a barba de todas as pessoas que não fazem a barba de si próprias. E só faz a barba das que não fazem a barba de si próprias. Quem faz a barba do barbeiro?”
O enunciado, simples e plausível em sua aparência, esconde uma proposição indecidível, logicamente impossível. De fato, se ele barbeia a si próprio, então pertence ao grupo daqueles que barbeiam a si mesmos, logo não deveria se barbear. Se ele não barbeia a si próprio, então pertence ao grupo dos que não barbeiam a si mesmos, logo deveria se barbear. Resumo: não pode fazer a própria barba nem pode deixar de fazê-la. De outro modo: o barbeiro não pode fazer a própria barba, pois só faz a barba de quem não se barbeia. Mas se ele não se barbeia, então cai no grupo das pessoas que seriam barbeadas pelo barbeiro, logo, como barbeiro, deve se barbear.
Eurípides A. Silva, Mestre e doutor em Matemática pela USP e aposentado pelo Depto. de Matemática do Ibilce, campus da Unesp de Rio Preto